レンタルサーバーやWordPressサイトの引っ越しについては、下記の記事をご参照ください。プラグインを使って、データベースやテーマ設定を含めたサイト全体の移行が可能です。
※引っ越し後にレイアウトが崩れる場合は、キャッシュの削除やパーマリンク設定の再保存、テーマ内の高速化機能の停止などもお試しください。
解説記事： WordPressの引っ越し・バックアップ用プラグイン